Чтение этой ветки подсказало, как решить проблему. Делал так:
OAUTH отключить, это для другого случая.
Зайти через браузер в настройки своего аккаунта в гугле, слева меню "Безопасность", справа блок "Вход в аккаунт Google", внутри "Пароли приложений", жмем на стрелочку справа для открытия. Возможно еще раз выкинет окошко для авторизации в своем аккаунте, делаем, откроется блок "Пароли приложений" в котором нужно создать пароль для приложения ниже надписи  "Выберите приложение и устройство, для которых нужно создать пароль приложения", я написал приложение The Bat! устройство "Компьютер Windows", жмём результирующую кнопку "Создать", возможно еще раз выкинет окошко с авторизацией в гугле, делаем и, в результате, получаем окошко с 16-тизначным паролем. Копируем его, идем в настройки почтового ящика в The Bat! и там его вставляем вместо своего старого пароля к ящику. Все должно сразу начать работать - скачивать и отправлять.
У меня последний раз гуглопочта в The Bat! принималась больше года назад. Тогда забил на это, не найдя решения, тем более, что на другом компе прекрасно работал этот ящик в mozilla thunderbird. Теперь вдруг решил напрячься не отказываться же совсем от любимого почтового клиента, тем более, что я с ним практически с момента его появления, лет 30 наверное.

Да, всё таки заработало. Спасибо, Олег.
Но меня все останавливала 2-х факторная авторизация. Оператор идиотский. Из 10-ти смс приходит один раз.

Пароли приложений работают только после привязки телефона. Не всем это подходит.
Как вы правильно заметили, если в громоптице все пашет, то привязывать телефон и снижать уровень конфиденциальности ради the bat - так себе идея. Удивительно, что имея возможность изучить исходный код громоптицы и внедрить методы для беспроблемного коннекта по oauth2 оттуда в Бат, разрабы этого не делают. В громоптице гмайл вообще с полтычка заводится и не жужжит, что поп3, что имап. Печаль. С 98 года на бате, и желания менять нет, но оно должно работать как часы, а иначе зачем?

Немножко включить смекалки, не?

А у меня телефон кнопочный и совсем не сенсорный смартфон. На него аудентификатор не поставить

Есть статья-комикс - https://www.ritlabs.com/ru/news/7801/

Пр. кнопка по имени ящика - управление папками IMAP - они (эти папки) там выбраны?

Последние две недели стали всплывать окна с повторной авторизацией для ящиков на GMAIL, при этом переход по ссылке дает Bad Request. От браузера не зависит. Почту при этом вроде бы собирает, но постоянные всплывающие окна в процессе работы откровенно мешают. Видимо, запускает при каждой проверке почты.

Отдельная странность, что это только с двумя ящиками происходит.

Версия 10.0.10

обновила. Ошибка стала повторяться чаще, видимо, настройки частоты проверки слетели

Сегодня написала запрос. Потому что такая новость по всем ящикам Gmail теперь
https://developers.google.com/identity/protocols/oauth2/resources/oob-migration

Друзья у меня такой вопрос
я покдлючил The Bat к Gmail
хочу чтобы все Исходящая и Входящая почта сохранялась на the bat -
И существовала эта копия паралельно с gmail

- те если например на gmail все удалили
то на the bat все бы осталось

- также если - на gmail что то было отправлено, то  в папке Исходящие - в the bat подгрузилось и появилось отправленное на gmail интерфейсе письмо.  

А приэтом кака будет выполнятся вот это ?

- также если - на gmail что то было отправлено, то  в папке Исходящие - в the bat подгрузилось и появилось отправленное на gmail интерфейсе письмо.